\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage[top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm]{geometry} % 页边距
\usepackage{amsmath, amssymb} % 数学公式与符号
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{url} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm} % 标题上移

%%文档的题目、作者与日期
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{复变函数第七章共形映射 - 部分习题}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
    \item 设 $z$ 平面上有两条有向曲线 $C_1$ 和 $C_2$, 其中 $C_1$ 是以原点为圆心, 以 $\sqrt{2}$ 为半径的圆周, 取逆时针方向; $C_2$ 是从原点出发, 倾角为 $\frac{\pi}{4}$ 的射线. 它们相交于 $z_0 = 1 + i$, 求通过映射
    \begin{enumerate}
        \item $w = f_1(z) = (z - 2)^2$;
        \item $w = f_2(z) = 2\overline{z}$,
    \end{enumerate}
    曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 在 $z_0$ 的伸长率, 以及在 $w$ 平面上 $z_0$ 的像点处, 从 $C_1$ 的像转到 $C_2$ 的像的交角.

    \item 试利用保域定理 7.1 简捷地证明第二章习题 (-)6(4), (5).

    \item 在整性变换 $w = iz$ 下, 下列图形分别变成什么图形?
    \begin{enumerate}
        \item 以 $z_1 = i, z_2 = -1, z_3 = 1$ 为顶点的三角形;
        \item 闭圆 $|z - 1| \leqslant 1$.
    \end{enumerate}

    \item 下列各题中, 给出了三对对应点 $z_1 \longleftrightarrow w_1, z_2 \longleftrightarrow w_2, z_3 \longleftrightarrow w_3$ 的具体数值, 写出相应的分式线性变换, 并指出此变换把通过 $z_1, z_2, z_3$ 的圆周的内部, 或直线左边 (顺着 $z_1, z_2, z_3$ 观察) 变成什么区域.
    \begin{enumerate}
        \item $1 \longleftrightarrow 1, i \longleftrightarrow 0, -i \longleftrightarrow -1$;
        \item $1 \longleftrightarrow \infty, i \longleftrightarrow -1, -1 \longleftrightarrow 0$;
        \item $\infty \longleftrightarrow 0, i \longleftrightarrow i, 0 \longleftrightarrow \infty$;
        \item $\infty \longleftrightarrow 0, 0 \longleftrightarrow 1, 1 \longleftrightarrow \infty$.
    \end{enumerate}

    \item 求分式线性变换 $w = \dfrac{az + b}{cz + d} \ (ad - bc \neq 0)$ 的不动点.

    \item 如 $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ 将单位圆周变成直线, 其系数应满足什么条件?

    \item 分别求将上半 $z$ 平面 $\operatorname{Im} z > 0$ 共形映射成单位圆 $|w| < 1$ 的分式线性变换 $w = L(z)$, 使符合条件:
    \begin{enumerate}
        \item $L(i) = 0, L'(i) > 0$;
        \item $L(i) = 0, \arg L'(i) = \frac{\pi}{2}$.
    \end{enumerate}

    \item 分别求将单位圆 $|z| < 1$ 共形映射射成单位圆 $|w| < 1$ 的分式线性变换 $w = L(z)$, 使符合条件:
    \begin{enumerate}
        \item $L\left(\frac{1}{2}\right) = 0, L(1) = -1$;
        \item $L\left(\frac{1}{2}\right) = 0, \arg L'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{2}$.
    \end{enumerate}

    \item 求出将圆 $|z - 4i| < 2$ 变成半平面 $v > u$, 而圆周上的点 $2i$ 变到 $w = 0$.

    \item 设 $w = f(z)$ 在右半平面 $\operatorname{Re} z > 0$ 内单叶解析, 且 $\operatorname{Re} f(z) > 0, f(a) = a \ (a > 0)$, 证明 $|f'(a)| \leqslant 1$.

    \item 求分式线性变换 $w = f(z)$, 它将 $|z| < 1$ 变到 $|w| < 1$, 并将 $z = \frac{1}{2}$ 变到 $w = 0$, 且满足 $f'\left(\frac{1}{2}\right) > 0$.

    \item 求出圆 $|z| < 2$ 到半平面 $\operatorname{Re} w > 0$ 的共形映射 $w = f(z)$, 使符合条件
    \[
    f(0) = 1, \quad \arg f'(0) = \frac{\pi}{2}.
    \]

    \item 试求以下各区域 (除去阴影的部分) 到上半平面的一个共形映射.
    \begin{enumerate}
        \item $|z + i| < 2, \operatorname{Im} z > 0$ (图 7.20);
        \item $|z + i| > \sqrt{2}, |z - i| < \sqrt{2}$ (图 7.21);
        \item $|z| < 2, |z - 1| > 1$ (图 7.22).
    \end{enumerate}

    \item 求出角形区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{4}$ 到单位圆 $|w| < 1$ 的一个共形映射.

    \item 求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射, 使 $z = 1, -1, 0$ 分别变成 $w = -1, 1, \infty$.

    \item 求出第一象限到上半平面的共形映射, 使 $z = \sqrt{2}i, 0, 1$ 对应地变成 $w = 0, \infty, -1$.

    \item 将扩充 $z$ 平面割去 $1 + i$ 到 $2 + 2i$ 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面.

    \item 将圆 $|z - 1| < 2$ 和圆 $|z + 1| < 2$ 的公共部分 $D$ 共形映射到上半平面.

    \item 求将 $D: -\frac{\pi}{6} < \arg z < \frac{\pi}{6}$ 变为 $G: |w| < 1$ 的共形映射.
\end{enumerate}

\end{document}